حل تمرین صفحه 43 ریاضی یازدهم انسانی سوال 1تا3

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی همانطور که می‌دانید، **جزء صحیح** یک عدد ($\\lfloor \text{x} \rfloor$) برابر با **بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی** آن عدد است. در محور اعداد، جزء صحیح $\text{x}$ همان عدد صحیحی است که در **سمت چپ** $\text{x}$ قرار دارد (یا خود $\text{x}$ اگر صحیح باشد). ### محاسبه جزء صحیح: 1. **$\mathbf{\lfloor 4/2 \rfloor}$:** * $\mathbf{4.2}$ بین $4$ و $5$ است. * عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{4}$ $$\mathbf{\lfloor 4/2 \rfloor = 4}$$ 2. **$\mathbf{\lfloor -4/2 \rfloor}$:** * $\mathbf{-4.2}$ بین $athbf{-5}$ و $athbf{-4}$ است. * عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{-5}$ $$\mathbf{\lfloor -4/2 \rfloor = -5}$$ 3. **$\mathbf{\lfloor 3.99 \rfloor}$:** * $\mathbf{3.99}$ بین $3$ و $4$ است. * عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{3}$ $$\mathbf{\lfloor 3.99 \rfloor = 3}$$ 4. **$\mathbf{\lfloor -1/2 \rfloor}$:** * $\mathbf{-0.5}$ بین $athbf{-1}$ و $athbf{0}$ است. * عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{-1}$ $$\mathbf{\lfloor -1/2 \rfloor = -1}$$ 5. **$\mathbf{\lfloor -2 \rfloor}$:** * $\mathbf{-2}$ خودش یک عدد صحیح است. * جزء صحیح هر عدد صحیح، خود آن عدد است: $\mathbf{-2}$ $$\mathbf{\lfloor -2 \rfloor = -2}$$ 6. **$\mathbf{\lfloor \pi \rfloor}$:** * می‌دانیم $\mathbf{\pi \approx 3.14}$. * $\mathbf{3.14}$ بین $3$ و $4$ است. * عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{3}$ $$\mathbf{\lfloor \pi \rfloor = 3}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی در این تمرین، ما باید مقادیر توابع مختلف شامل **جزء صحیح** را محاسبه کنیم. همیشه ابتدا مقدار داخل نماد جزء صحیح را محاسبه کنید و سپس جزء صحیح آن را به دست آورید. ### الف) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor \text{x} \rfloor}$ (تابع جزء صحیح) 1. **$\mathbf{\text{x} = -2/3 \approx -0.66}$:** $$\text{f}\left(-\frac{2}{3}\right) = \left\lfloor -0.66 \right\rfloor = \mathbf{-1}$$ 2. **$\mathbf{\text{x} = 5}$:** $$\text{f}(5) = \lfloor 5 \rfloor = \mathbf{5}$$ ### ب) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor -\text{x} \rfloor}$ 1. **$\mathbf{\text{x} = 1/7 \approx 0.14}$:** $$\text{f}\left(\frac{1}{7}\right) = \left\lfloor -\frac{1}{7} \right\rfloor = \lfloor -0.14 \rfloor = \mathbf{-1}$$ 2. **$\mathbf{\text{x} = 2/3 \approx 0.66}$:** $$\text{f}\left(\frac{2}{3}\right) = \left\lfloor -\frac{2}{3} \right\rfloor = \lfloor -0.66 \rfloor = \mathbf{-1}$$ ### پ) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor}$ (خاصیت مهم) **نکته کلیدی:** مقدار این عبارت همیشه $athbf{0}$ یا $athbf{-1}$ است: * اگر $\mathbf{\text{x} \in \mathbb{Z}}$ ($\text{x}$ صحیح باشد): $\mathbf{\lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor = \text{x} + (-\text{x}) = 0}$ * اگر $\mathbf{\text{x} \notin \mathbb{Z}}$ ($\text{x}$ صحیح نباشد): $\mathbf{\lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor = -1}$ 1. **$\mathbf{\text{x} = 1}$ (صحیح):** $$\text{f}(1) = \lfloor 1 \rfloor + \lfloor -1 \rfloor = 1 + (-1) = \mathbf{0}$$ 2. **$\mathbf{\text{x} = 1/3}$ (غیرصحیح):** $$\text{f}\left(\frac{1}{3}\right) = \left\lfloor \frac{1}{3} \right\rfloor + \left\lfloor -\frac{1}{3} \right\rfloor = 0 + (-1) = \mathbf{-1}$$ 3. **$\mathbf{\text{x} = 1/7}$ (غیرصحیح):** $$\text{f}\left(\frac{1}{7}\right) = \left\lfloor \frac{1}{7} \right\rfloor + \left\lfloor -\frac{1}{7} \right\rfloor = 0 + (-1) = \mathbf{-1}$$ 4. **$\mathbf{\text{x} = 2}$ (صحیح):** $$\text{f}(2) = \lfloor 2 \rfloor + \lfloor -2 \rfloor = 2 + (-2) = \mathbf{0}$$ ### ت) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor 2\text{x} \rfloor}$ 1. **$\mathbf{\text{x} = 1}$:** $$\text{f}(1) = \lfloor 2 \times 1 \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = \mathbf{2}$$ 2. **$\mathbf{\text{x} = 0.2}$:** $$\text{f}(0.2) = \lfloor 2 \times 0.2 \rfloor = \lfloor 0.4 \rfloor = \mathbf{0}$$ 3. **$\mathbf{\text{x} = 1/3}$:** $$\text{f}\left(\frac{1}{3}\right) = \left\lfloor 2 \times \frac{1}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2}{3} \right\rfloor = \lfloor 0.66 \rfloor = \mathbf{0}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین یک مثال کاربردی از تابع **چندضابطه‌ای** برای محاسبهٔ مالیات بر اساس درآمد (مالیات تصاعدی) است. برای محاسبه مالیات، باید مبلغ حقوق در هر سطح، در نرخ مالیات همان سطح ضرب شود و سپس جمع گردد. ### الف. نمودار پلکانی متناظر با جدول مالیاتی * **محور $\mathbf{x}$ (افقی):** حقوق ماهیانه (تومان) * **محور $\mathbf{y}$ (عمودی):** نرخ مالیات (درصد) نمودار به صورت زیر رسم می‌شود (توجه کنید که این نمودار، **نرخ مالیات** را نشان می‌دهد نه **مبلغ مالیات**): | حقوق ماهیانه ($athbf{\text{x}}$) | نرخ مالیات ($athbf{\text{y}}$) | |:---:|:---:| | $\mathbf{0 < \text{x} \le 1,300,000}$ | $\mathbf{0}$% (معاف) | | $\mathbf{1,300,000 < \text{x} \le 2,500,000}$ | $\mathbf{10}$% | | $\mathbf{2,500,000 < \text{x} \le 4,500,000}$ | $\mathbf{15}$% | | $\mathbf{\text{x} > 4,500,000}$ | $\mathbf{25}$% | * **توصیف نمودار:** یک تابع پلکانی صعودی است. در هر مرحله، نرخ مالیات (ارتفاع پله) افزایش می‌یابد. در نقاط تغییر نرخ (مانند $\mathbf{1.3 \times 10^6}$)، نقطهٔ سمت چپ (پایین) **پر** و نقطهٔ سمت راست (بالا) **توخالی** است، زیرا نرخ مالیات از مازاد بر مبلغ قبلی محاسبه می‌شود. ### ب. محاسبه مبلغ مالیات (محاسبه سطح زیر نمودار) **۱. کارمندی با حقوق $athbf{1,700,000}$ تومان:** * $\mathbf{1,300,000}$ تومان اول: **معاف** (مالیات $= 0$) * $\mathbf{400,000}$ تومان مازاد ($\mathbf{1,700,000 - 1,300,000}$): مشمول نرخ $\mathbf{10}$%. $$\text{مالیات} = 400,000 \times \frac{10}{100} = \mathbf{40,000 \text{ تومان}}$$ **۲. کارمندی با حقوق $athbf{2,400,000}$ تومان:** * $\mathbf{1,300,000}$ تومان اول: **معاف** (مالیات $= 0$) * $\mathbf{1,100,000}$ تومان مازاد ($\mathbf{2,400,000 - 1,300,000}$): مشمول نرخ $\mathbf{10}$%. $$\text{مالیات} = 1,100,000 \times \frac{10}{100} = \mathbf{110,000 \text{ تومان}}$$ **۳. کارمندی با حقوق $athbf{6,000,000}$ تومان:** این محاسبه شامل تمام سطوح است: * **سطح ۱: $athbf{1,300,000}$ تومان اول:** معاف (مالیات $= 0$) * **سطح ۲: $athbf{1,200,000}$ تومان بعدی ($athbf{2,500,000 - 1,300,000}$):** مشمول نرخ $\mathbf{10}$%. $$\text{مالیات}_2 = 1,200,000 \times 0.10 = 120,000$$ * **سطح ۳: $athbf{2,000,000}$ تومان بعدی ($athbf{4,500,000 - 2,500,000}$):** مشمول نرخ $\mathbf{15}$%. $$\text{مالیات}_3 = 2,000,000 \times 0.15 = 300,000$$ * **سطح ۴: $athbf{1,500,000}$ تومان مازاد ($athbf{6,000,000 - 4,500,000}$):** مشمول نرخ $\mathbf{25}$%. $$\text{مالیات}_4 = 1,500,000 \times 0.25 = 375,000$$ $$\text{مالیات کل} = 0 + 120,000 + 300,000 + 375,000 = \mathbf{795,000 \text{ تومان}}$$ | حقوق ماهیانه (تومان) | مبلغ مالیات (تومان) | |:---:|:---:| | $\mathbf{1,700,000}$ | $\mathbf{40,000}$ | | $\mathbf{2,400,000}$ | $\mathbf{110,000}$ | | $\mathbf{6,000,000}$ | $\mathbf{795,000}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین بر روی مفهوم **انتقال (جابه‌جایی)** نمودار **تابع قدر مطلق** تمرکز دارد. برای توابع قدر مطلقی به شکل $\mathbf{\text{y} = \pm |\text{x} - \text{h}| + \text{k}}$، **رأس نمودار** نقطهٔ $(\mathbf{\text{h}}, \mathbf{\text{k}})$ است. ### ۱. مقایسه نمودار اول (انتقال عمودی) * **تابع $\text{الف}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x}| + 2}$** * **رأس:** $(athbf{0}, \mathbf{2})$. (انتقال ۲ واحد به بالا) * **نمودار متناظر:** نمودار سمت چپ که رأس آن $(athbf{0}, \mathbf{2})$ است. * **تابع $\text{ب}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x}| - 3}$** * **رأس:** $(athbf{0}, \mathbf{-3})$. (انتقال ۳ واحد به پایین) * **نمودار متناظر:** نمودار سمت راست که رأس آن $(athbf{0}, \mathbf{-3})$ است (در تصویر، رأس در $\mathbf{(0, -2)}$ است، اما با فرض مطابقت با ضابطه: $(\mathbf{0}, \mathbf{-3})$). --- ### ۲. مقایسه نمودار دوم (انتقال افقی) * **تابع $\text{الف}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x} + 1|}$** * **رأس:** $\text{x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = -1}$. رأس: $(athbf{-1}, \mathbf{0})$. (انتقال ۱ واحد به چپ) * **نمودار متناظر:** نمودار سمت چپ که رأس آن $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ است. * **تابع $\text{ب}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x} - 4|}$** * **رأس:** $\text{x} - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = 4}$. رأس: $(athbf{4}, \mathbf{0})$. (انتقال ۴ واحد به راست) * **نمودار متناظر:** نمودار سمت راست که رأس آن $(athbf{4}, \mathbf{0})$ است. --- ### ۳. مقایسه نمودار سوم (انتقال و بازتاب) * **توابع با علامت منفی قبل از قدر مطلق (مثلاً $\mathbf{y = -|x|}$):** این توابع به جای $athbf{V}$-شکل، به شکل $athbf{\Lambda}$ (دهانه رو به پایین) هستند. * **تابع $\text{الف}$: $\mathbf{\text{y} = -|\text{x}|}$** * **رأس:** $(athbf{0}, \mathbf{0})$. (بازتاب نسبت به محور $\text{x}$) * **نمودار متناظر:** نمودار سمت چپ که رأس آن $(athbf{0}, \mathbf{0})$ است. * **تابع $\text{ب}$: $\mathbf{\text{y} = -|\text{x} + 1|}$** * **رأس:** $\text{x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = -1}$. رأس: $(athbf{-1}, \mathbf{0})$. (انتقال ۱ واحد به چپ و بازتاب) * **نمودار متناظر:** نمودار سمت راست که رأس آن $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ است. --- ### نتیجه‌گیری **نتیجه‌ای که می‌گیریم:** 1. **انتقال عمودی:** اگر عددی خارج از قدر مطلق $\mathbf{(\mathbf{k})}$ به تابع اضافه/کم شود ($\\text{y} = |\text{x}| + \text{k}$)، نمودار $\mathbf{\text{k}}$ واحد در راستای محور $\mathbf{y}$ **(بالا/پایین)** جابه‌جا می‌شود. 2. **انتقال افقی:** اگر عددی داخل قدر مطلق از $\mathbf{\text{x}}$ کم/زیاد شود ($\\text{y} = |\text{x} - \text{h}|$)، نمودار $\mathbf{\text{h}}$ واحد در خلاف جهت علامت (مثلاً $\mathbf{x}-4$ به **راست**) جابه‌جا می‌شود. 3. **بازتاب:** اگر علامت پشت قدر مطلق $\mathbf{منفی}$ باشد ($\\text{y} = -|\text{x}|$)، نمودار نسبت به محور $\mathbf{x}$ بازتاب می‌یابد (دهانه آن رو به پایین می‌شود).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی برای رسم نمودار توابعی که ضریب $\mathbf{\text{x}}$ داخل قدر مطلق، $\mathbf{1}$ نیست، دو راه وجود دارد: **روش چندضابطه‌ای** و **روش تغییر مقیاس (شیب)**. ### الف) $\mathbf{\text{y} = |2\text{x} - 3|}$ **روش اول: چندضابطه‌ای کردن (تغییر ضابطه در نقطه رأس):** 1. **یافتن رأس (نقطه عطف):** عبارت داخل قدر مطلق را صفر قرار می‌دهیم: $2\text{x} - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = 3/2 = 1.5}$. رأس تابع $(athbf{1.5}, athbf{0})$ است. 2. **ضابطهٔ چپ ($athbf{\text{x} < 1.5}$):** عبارت داخل قدر مطلق منفی است، پس با تغییر علامت از قدر مطلق خارج می‌شود: $$\mathbf{\text{y} = -(2\text{x} - 3) = -2\text{x} + 3}$$ 3. **ضابطهٔ راست ($athbf{\text{x} \ge 1.5}$):** عبارت داخل قدر مطلق مثبت است، پس بدون تغییر علامت از قدر مطلق خارج می‌شود: $$\mathbf{\text{y} = 2\text{x} - 3}$$ 4. **رسم:** یک تابع $athbf{V}$-شکل که از $(athbf{1.5}, athbf{0})$ شروع می‌شود. شیب شاخهٔ راست $athbf{+2}$ و شیب شاخهٔ چپ $athbf{-2}$ است (نمودار نسبت به $\mathbf{y = |x|}$ فشرده‌تر است). --- ### ب) $\mathbf{\text{y} = |3\text{x} + 1|}$ **روش دوم: تبدیل به ضریب $\mathbf{1}$ و انتقال (بهترین راه):** 1. **یافتن رأس:** عبارت داخل قدر مطلق را صفر قرار می‌دهیم: $3\text{x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = -1/3}$. رأس تابع $(athbf{-1/3}, athbf{0})$ است. 2. **ضابطهٔ چپ ($athbf{\text{x} < -1/3}$):** عبارت داخل قدر مطلق منفی است. $$\mathbf{\text{y} = -(3\text{x} + 1) = -3\text{x} - 1}$$ 3. **ضابطهٔ راست ($athbf{\text{x} \ge -1/3}$):** عبارت داخل قدر مطلق مثبت است. $$\mathbf{\text{y} = 3\text{x} + 1}$$ 4. **رسم:** یک تابع $athbf{V}$-شکل که از $(athbf{-1/3}, athbf{0})$ شروع می‌شود. شیب شاخهٔ راست $athbf{+3}$ و شیب شاخهٔ چپ $athbf{-3}$ است (نمودار نسبت به $\mathbf{y = |x|}$ بسیار فشرده‌تر است). **تذکر:** نمودار $athbf{\text{y} = |\text{ax} + \text{b}|}$ یک $athbf{V}$-شکل با رأس $(athbf{-\text{b}/\text{a}}, \mathbf{0})$ است. شیب شاخه‌ها $athbf{+\text{a}}$ و $athbf{-\text{a}}$ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین نسخهٔ تغییر یافته‌ای از تمرین صفحه ۴۱ است. در اینجا، **زمان تحویل مقرر** (جریمه صفر) در $\mathbf{\text{x} = -1}$ (یعنی یک ماه قبل از دی ۹۵) قرار دارد. --- ## الف. شرایط تحویل پروژه * **زمان تحویل مقرر (جریمه صفر):** $\mathbf{\text{x} = -1}$ (یعنی یک ماه قبل از دی ۹۵). * **دامنهٔ جریمه‌ها:** نمودار در بازهٔ $athbf{-4 \le \text{x} \le 2}$ تعریف شده است. **شرایط تحویل ندادن به موقع:** 1. **تحویل زودهنگام ($athbf{-4 \le \text{x} < -1}$):** پیمانکار زودتر از موعد مقرر تحویل داده است، اما همچنان جریمه (یا کسر دستمزد) می‌شود. حداکثر جریمه در $athbf{4}$ ماه قبل از $athbf{\text{x} = -1}$ (یعنی در $athbf{x=-4}$) اتفاق می‌افتد. 2. **تحویل دیرهنگام ($athbf{-1 < \text{x} \le 2}$):** پیمانکار دیرتر از موعد مقرر تحویل داده است و جریمه می‌شود. حداکثر تأخیر ۲ ماه بعد از $athbf{\text{x} = -1}$ (یعنی در $athbf{\text{x}=2}$) در نظر گرفته شده است. --- ## ب. ضابطه نیم‌خط‌ها **راس تابع:** $(athbf{-1}, athbf{0})$. ### ۱. نیم‌خط با شیب منفی (سمت چپ): $-4 e ext{x} < -1$ * **نقاط:** $(athbf{-4}, \mathbf{3})$ و رأس $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ * **شیب ($athbf{a}$):** $\text{a} = \frac{0 - 3}{-1 - (-4)} = \frac{-3}{3} = -1$ * **ضابطه ($athbf{y} = ext{ax} + ext{b}$):** با استفاده از نقطهٔ $(athbf{-1}, \mathbf{0})$: $$0 = (-1)(-1) + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 0 = 1 + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \text{b} = -1$$ $$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = - ext{x} - 1} \quad \text{اگر } \mathbf{-4 \le \text{x} < -1}$$ ### ۲. نیم‌خط با شیب مثبت (سمت راست): $-1 e ext{x} e 2$ * **نقاط:** رأس $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ و $(athbf{2}, \mathbf{3})$ * **شیب ($athbf{a}$):** $\text{a} = \frac{3 - 0}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$ * **ضابطه ($athbf{y} = ext{ax} + ext{b}$):** با استفاده از نقطهٔ $(athbf{-1}, \mathbf{0})$: $$0 = (1)(-1) + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 0 = -1 + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \text{b} = 1$$ $$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = ext{x} + 1} \quad \text{اگر } \mathbf{-1 \le \text{x} \le 2}$$ --- ## ج. بیان دو ضابطه با یک ضابطه (تابع قدر مطلق) با توجه به اینکه $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = -(\text{x} + 1)}$ برای $\text{x} < -1$ و $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x} + 1}$ برای $\text{x} \ge -1$، ضابطهٔ کلی این بخش همان تابع قدر مطلق است. $$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = |\text{x} + 1|}$$ با در نظر گرفتن دامنهٔ کل: $$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = |\text{x} + 1|} \quad \text{برای } \mathbf{-4 \le \text{x} \le 2}$$ --- ## د. معنای شیب خط و افزایش آن * **معنای شیب خط ($athbf{\pm 1}$):** شیب خط نشان‌دهندهٔ **نرخ ثابت جریمه** است. یعنی به ازای **هر واحد زمان انحراف** (ماه زودتر یا ماه دیرتر)، $athbf{1}$ میلیون تومان جریمه (یا کسر دستمزد) لحاظ می‌شود. * **افزایش شیب خط (مثلاً از $athbf{\pm 1}$ به $athbf{\pm 2}$):** به این معناست که **نرخ جریمه در واحد زمان، افزایش یافته است.** یعنی پیمانکار در ازای یک ماه تأخیر یا زودتر تحویل دادن، مبلغ **بیشتری** را جریمه می‌شود. این امر باعث می‌شود که پیمانکار انگیزهٔ بیشتری برای تحویل دقیقاً در موعد مقرر داشته باشد (نمودار تندتر و $\mathbf{V}$ باریک‌تر می‌شود).